链序列与扰动$R_{II}$型递推关系的零点

本手稿研究了满足$R_{II}$型递推关系\begin{align*} \mathcal{P}_{n+1}(x) = (x-c_n)\mathcal{P}_n(x)-\lambda_n (x-a_n)(x-b_n)\mathcal{P}_{n-1}(x), \quad n \geq 0, \end{align*}的正交多项式的新代数与分析性质,其中$\lambda_n$为正链序列,$a_n$、$b_n$、$c_n$为实数或复数序列,且$\mathcal{P}_{-1}(x) = 0$、$\mathcal{P}_0(x) = 1$;当递推系数受扰动时考察上述性质。具体地,给出了新扰动多项式(($R_{II}$型余多项式))用原多项式表示的形式,以及零点的交错与单调性性质。对于有限扰动,采用转移矩阵方法获得新的结构关系。分析了相应链序列中的余伸缩及其对单位圆的影响。还研究了相应链序列中称为互补链序列的特定扰动及其对相应Verblunsky系数的影响。