曲线上的挠点以及 a^k-1 与 b^k-1 的公因数
数论
2007-05-23 v3 代数几何
摘要
我们研究 a^k-1 与 b^k-1 的最大公约数的性态，其中 a,b 是固定的整数或多项式，k 变化。在整数情形，我们猜想当 a 与 b 乘法无关且此外 a-1 与 b-1 互素时，a^k-1 与 b^k-1 无穷多次互素。在多项式情形，我们证明该猜想的一个强版本。为此我们使用 Lang 关于代数曲线上挠点有限性的一个结果。我们也给出这些结果的矩阵类比，其中对于单模矩阵 A，我们考察矩阵 A^k-I 各元素的最大公约数。
引用
@article{arxiv.math/0202102,
title = {Torsion points on curves and common divisors of a^k-1 and b^k-1},
author = {Nir Ailon and Zeev Rudnick},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0202102},
year = {2007}
}
备注
Conjecture B and Theorem 3 extended to the case of matrices with arbitrary determinant. Replaced the proof of Theorem 2 with a simpler one