多项式矩阵的半标量等价

域 $\mathbb F$ 上的多项式 $n\times n$ 矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 称为半标量等价的，如果存在域 $\mathbb F$ 上的非奇异 $n\times n$ 矩阵 $P$ 以及环 ${\mathbb F}[\lambda]$ 上的可逆 $n\times n$ 矩阵 $Q(\lambda)$，使得 $A(\lambda)=P B(\lambda)Q(\lambda)$。域 ${\mathbb F}$ 上矩阵的半标量等价包含了两族矩阵之间的相似问题。因此，这些矩阵等价可视为线性代数中的困难问题。本文旨在利用齐次线性方程组的解，给出特征零的域 ${\mathbb F }$ 上非奇异矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 半标量等价的充要条件。我们还建立了域上首一多项式矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 的相似性。