有限域上线性多项式族的因式分解模式分布

我们获得了 $\mathbb{F}_q[T]$ 中次数为 $n$ 的首一多项式线性族 $\mathcal{A}$ 上具有因式分解模式 $\boldsymbol{\lambda}:=1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_n}$ 的元素个数 $|\mathcal{A}_{\boldsymbol{\lambda}}|$ 的估计。我们证明了 $|\mathcal{A}_{\boldsymbol{\lambda}}|= \mathcal{T}(\boldsymbol{\lambda})\,q^{n-m}+\mathcal{O}(q^{n-m-{1}/{2}})$，其中 $\mathcal{T}(\boldsymbol{\lambda})$ 是 $n$ 元对称群中具有轮换模式 $\boldsymbol{\lambda}$ 的元素比例，$m$ 是 $\mathcal{A}$ 的余维数。此外，如果所考虑的族 $\mathcal{A}$ 是“稀疏”的，则 $|\mathcal{A}_{\boldsymbol{\lambda}}|= \mathcal{T}(\boldsymbol{\lambda})\,q^{n-m}+\mathcal{O}(q^{n-m-{1}})$。我们的估计适用于特征大于 2 的域 $\mathbb{F}_q$。我们根据 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\mathcal{A}$ 提供了 $\mathcal{O}$ 符号背后常数的显式上界，且这些常数具有“良好”的性质。我们的方法将该问题转化为估计定义在 $\mathbb{F}_q$ 上的某些完全交集族的 $\mathbb{F}_q$--有理点个数。这些完全交集由在坐标置换的对称群作用下不变的多项式定义。这使我们能够获得关于其奇异 locus 的关键信息，从而建立对其 $\mathbb{F}_q$--有理点个数的精确估计。