$3$-稀疏性：有限域上 $X^n-1$ 的研究，II

设 $q$ 为 $2$ 的一个幂，设 $\mathbb{F}_q$ 为具有 $q$ 个元素的有限域。对于正整数 $n$，多项式 $X^n-1\in\mathbb{F}_q[X]$ 若其在 $\mathbb{F}_q$ 上每个单项不可约因子都最多只有三个非零项，则称为 $\mathbb{F}_q$ 上的 $3$-稀疏。本修订版给出特征为 $2$ 的分类。设 $n=2^\lambda m$，其中 $m$ 为奇数，则 $X^n-1$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上为 $3$-稀疏当且仅当要么 $\rad(m)\mid q^2-1$，要么 $q=2^e$，$3\nmid e$，且 $m$ 落在异常的 $7$-family 中，即 $$m=7^A s_0, \quad A\ge1, \quad (s_0,7)=1, \quad \rad(s_0)\mid q-1, \quad 3\nmid s_0/\gcd(s_0,q-1),$$ 且满足额外的 maximal $7$-adic orbit 条件 $\ord_{7^a}(q)=3\cdot7^{a-1}$ for $1\le a\le A$。后者条件等价于 $A=1$ 或 $7\nmid e$。该条件是必要的；例如，$X^{49}-1$ 在 $\mathbb{F}_{128}$ 上不是 $3$-稀疏的。