基于系数的有限域上多项式正规性判别准则

若 $\Bbb F_q$ 上的不可约多项式在 $\Bbb F_q$ 上其根线性无关，则称其在 $\Bbb F_q$ 上为正规的。我们证明存在一个独立于 $q$ 的多项式 $h_n(X_1,\dots,X_n)\in\Bbb Z[X_1,\dots,X_n]$，使得若不可约多项式 $f=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n\in\Bbb F_q[X]$ 满足 $h_n(a_1,\dots,a_n)\ne 0$，则 $f$ 在 $\Bbb F_q$ 上正规。对 $n\le 5$ 显式计算了多项式 $h_n(X_1,\dots,X_n)$，对 $n=6$ 作了部分计算。当 $\text{char}\,\Bbb F_q=p$ 时，我们还证明存在依赖于 $p$ 的多项式 $h_{p,n}(X_1,\dots,X_n)\in\Bbb F_p[X_1,\dots,X_n]$，它比 $h_n$ 更简单但具有相同性质。这些结果对具有循环伽罗瓦群的任意域上的首一可分不可约多项式依然成立。