通过对称化与对称约化研究正规多项式的一种方法

设 $f\in\Bbb F_q[X]$ 为 $\Bbb F_q$ 上次数 $n$ 的不可约多项式。它是 $\Bbb F_q$ 上的{\em 正规}多项式，当且仅当其根 $r, r^q,\dots,r^{q^{n-1}}$ 满足条件 $\Delta_n(r, r^q,\dots,r^{q^{n-1}})\ne 0$，其中 $\Delta_n(X_0,\dots,X_{n-1})$ 为 $n\times n$ 循环行列式。通过寻找 $\Delta_n$ 的一个合适的{\em 对称化}（$\Delta_n$ 的一个倍数，且在 $X_0,\dots,X_{n-1}$ 中对称），我们得到了 $f$ 的系数所满足的、足以保证 $f$ 为正规多项式的一个条件。该方法在 $n\le 5$ 时效果良好，但在 $n\ge 6$ 时遇到计算困难。本文考虑形如 $f=X^n+X^{n-1}+a\in\Bbb F_q[X]$ 的不可约多项式。对于 $n=6$ 和 $7$，我们通过一种间接方法，能够找到关于 $a$ 的、足以保证 $f$ 为正规多项式的简单条件。在更一般的背景下，我们还通过伽罗瓦群的不可约特征标探讨了有限伽罗瓦扩张的正规多项式。