有限域上 $X^n-1$ 的3稀疏性

设 $q$ 为一个素数幂，$\mathbb{F}_q$ 为具有 $q$ 个元素的有限域。对于正整数 $n$，若 $\mathbb{F}_q[X]$ 中 $X^n - 1$ 的每个不可约因子要么是二项式，要么是三项式，则称 $X^n - 1$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上是3稀疏的。2021年，Oliveira 和 Reis 对 $q=2$ 和 $q=4$ 时 $X^n-1$ 是否在 $\mathbb{F}_q$ 上3稀疏作出了完整分类，并提出了一个开放问题：是否存在某个给定的 $q$，使得存在有限多个素数 $p$ 使得 $X^p-1$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上3稀疏。本文中，若 $q$ 为奇素数 $r$ 的幂，则我们证明：当正整数 $n$ 不能被 $r$ 整除时，$X^n-1$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上3稀疏当且仅当 $n = p_1^{e_1} \cdots p_s^{e_s}$，其中 $p_1, \dots, p_s$ 为 $q^2 - 1$ 的不同素因子，$e_1, \dots, e_s$ 为非负整数。这解决了Oliveira 和 Reis 对奇特征情况下的开放问题。