特征为三的一类置换三项式的判定

设 $f(X)=X(1+aX^{q(q-1)}+bX^{2(q-1)})\in\Bbb F_{q^2}[X]$, 其中 $a,b\in\Bbb F_{q^2}^*$。在若干作者近期的一系列论文中, 找到了 $f$ 为 $\Bbb F_{q^2}$ 的置换多项式(PP)时关于 $a$ 和 $b$ 的充分条件, 并且在特征 2 的情形下, 这些充分条件被证明也是必要的。在本文中, 我们确认在特征 3 时, 这些充分条件也是必要的。更确切地说, 我们证明了当 $\text{char}\,\Bbb F_q=3$ 时, $f$ 是 $\Bbb F_{q^2}$ 的 PP 当且仅当 $(ab)^q=a(b^{q+1}-a^{q+1})$ 且 $1-(b/a)^{q+1}$ 是 $\Bbb F_q^*$ 中的平方元。