形如 ${\tt X}^r(a+{\tt X}^{2(q-1)})$ 的置换多项式——一个非存在性结果

令 $f={\tt X}^r(a+{\tt X}^{2(q-1)})\in{\Bbb F}_{q^2}[{\tt X}]$，其中 $a\in{\Bbb F}_{q^2}^*$ 且 $r\ge 1$。在以下情形中，使得 $f$ 成为 ${\Bbb F}_{q^2}$ 的置换多项式（PP）的参数 $(q,r,a)$ 已被确定：(i) $a^{q+1}=1$；(ii) $r=1$；(iii) $r=3$。这些参数共同构成了三个无限族。对于 $r>3$（有充分理由不考虑 $r=2$）且 $a^{q+1}\ne 1$ 的情形，计算机搜索表明当 $q$ 相对于 $r$ 不太小时，$f$ 不是 ${\Bbb F}_{q^2}$ 的 PP。本文我们证明了该断言为真。特别地，对于每个 $r>3$，仅有有限多对 $(q,a)$（其中 $a^{q+1}\ne 1$）使得 $f$ 是 ${\Bbb F}_{q^2}$ 的 PP。