关于 $(1/4,3/4)$ 型 Tu-Zeng 置换三项式

设 $q$ 为 $2$ 的幂。近来，Tu 与 Zeng 考虑了形如 $f(X)=X+aX^{(1/4)q^2(q-1)}+bX^{(3/4)q^2(q-1)}$ 的三项式，其中 $a,b\in\Bbb F_{q^2}^*$。他们证明了若 $b=a^{2-q}$ 且 $X^3+X+a^{-1-q}$ 在 $\Bbb F_q$ 中无根，则 $f$ 是 $\Bbb F_{q^2}$ 上的置换多项式。本文中，我们证明上述充分条件亦是必要条件。