模 p 阶乘与模映射的平均值

我们已知，当比值 $n/M$ 趋于 $\lambda$ 时，$\mathcal{M}=\{1,2,\dots, M\}$ 中长度为 $n$ 的大多数序列将错过 $\{1,2,\dots,M\}$ 总数中的 $Me^{-\lambda}$ 个。现在我们考虑更一般的情况：其中 $\{1,2,\dots,M\}$ 中的数被一个“随机”序列 $f(1), f(2),\dots,f(n)$ 恰好取到 k 次。我们证明，若 $n/M\rightarrow \lambda$，则该极限具有泊松分布，即 $\mathcal{M}$ 中某个数恰好被取到 $k$ 次的序列所占比例以 $\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ 为极限。我们猜想这是模素数阶乘映射的行为，并给出若干支持性论证。