随机多项式素数值的分布

Bateman-Horn 猜想预测不可约多项式 $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 取素数值的频率。我们展示，在 $f$ 系数的平均中足够大（即指数级于输入大小）后，既能证明 Bateman-Horn 在平均情况下的结果，又能精确刻画素数值的分布。我们证明，100\% 的多项式（在所有 $k \in \mathbb{N}$ 的 $L^k$ 范数意义下）满足 Bateman-Horn 猜想，且 100\% 的多项式（在 $L^2$ 范数意义下）满足适当的多项式类比下的 Hardy-Littlewood 素数元组猜想。我们利用后者证明，100\% 的多项式（在适当的泊松尾部类比意义下）满足 100\% 的多项式，其意味着关于连续素数值在平均间距处间隙分布的泊松分布。我们还研究了在随机多项式上对 Liouville 函数连续输出的符号模式频率；将 $f$ 视为随机变量，我们建立每个符号模式的极限分布。Liouville 函数在随机多项式上的 Chowla 问题即为特例。我们论证的所有关键输入是 Leng 最近在更高阶 Fourier 均匀性方面的定量工作（进一步依赖 Leng、Sah 和 Sawhney 对 Gowers 范数量化逆定理）。