度量数论、缺项级数与膨胀函数系

根据 Weyl 的经典结果，对于任意递增整数序列 $(n_k)_{k \geq 1}$，分数部分序列 $(\{n_k x\})_{k \geq 1}$ 对几乎所有 $x \in [0,1]$ 在模 1 意义下均匀分布。除少数特殊情况（例如 $n_k=k, k \geq 1$）外，例外集无法被显式描述。序列 $(\{n_k x\})_{k \geq 1}$ 偏差的精确渐近阶仅在少数特殊情况下已知，例如当 $(n_k)_{k \geq 1}$ 为 (Hadamard) 缺项序列时，即满足 $n_{k+1}/n_k \geq q > 1, k \geq 1$。在这种 $(n_k)_{k \geq 1}$ 快速增长的情况下，系统 $(\{n_k x\})_{k \geq 1}$（或更一般地，对于 1-周期函数 $f$ 的系统 $(f(n_k x))_{k \geq 1}$）表现出许多典型的\emph{独立}随机变量系统的渐近性质。精确结果取决于分析、概率和数论现象之间迷人的相互作用。若不对 $(n_k)_{k \geq 1}$ 施加任何增长条件，情况将变得复杂得多，且系统 $(f(n_k x))_{k \geq 1}$ 通常无法满足概率极限定理。一个遗留的重要问题是研究级数 $\sum_{k=1}^\infty c_k f(k x)$ 的几乎处处收敛性，这与寻找如下形式的最大 $L^2$-范数的上界密切相关：$$\int_0^1 (\max_{1 \leq M \leq N}| \sum_{k=1}^M c_k f(kx)|^2 dx.$$ 这种联系最显著的例子是 Carleson 收敛定理与 Fourier 级数最大部分和的 Carleson--Hunt 不等式的等价性。对于一般函数 $f$，这是一个非常困难的问题，它与寻找涉及最大公约数的某些和的上界有关。