奇数单峰序列的渐近统计：秩分布与概率结构

几个世纪以来，整数分拆一直吸引着人们，从 Ramanujan 的开创性同余式到现代模形式理论。本文研究了奇数单峰序列的统计特性——这是一种自然的精细化，其中序列先上升至峰值然后下降，但约束条件是所有部分必须为奇数——并为其秩和形状参数发展了全面的统计理论。我们建立了秩统计量的渐近分布，并证明在适当归一化后，它收敛到双曲正割分布。除了秩分布外，还证明了峰值、峰值两侧最大部分以及小部分的联合行为的极限分布。这些结果揭示了丰富的概率结构，它与经典的整数分拆理论相平行，同时展现出由奇数部分约束产生的独特新特征。该分析综合运用了模变换理论、假 theta 函数渐近学和条件 Boltzmann 模型。这将先前为单峰序列发展的概率机制扩展到更一般且分析要求更高的环境中，提供了一种桥接模形式与概率的统一方法。