独立非同分布随机变量百分位数的非渐近界

本注记展示了独立但非同分布随机变量百分位数的一个有趣现象。设 $X_1,\cdots,X_n$ 为服从非同分布连续分布的独立随机变量，$X^{(1)}\geq \cdots\geq X^{(n)}$ 为相应的顺序统计量。对任意 $p\in(0,1)$，我们研究第 $100(1-p)$% 百分位数 $X^{(pn)}$ 并证明 $X^{(pn)}$ 的非渐近界。特别地，对一类广泛的分布，我们发现了其中位数与关联标准差的调和均值之间的有趣联系。例如，若 $X_k\sim\mathcal{N}(0,\sigma_k^2)$（$k=1,\cdots,n$）且 $p=\frac{1}{2}$，我们证明其中位数 $\big|{\rm Med}\big(X_1,\cdots,X_n\big)\big|= O_P\Big(n^{1/2}\cdot\big(\sum_{k=1}^n\sigma_k^{-1}\big)^{-1}\Big)$，只要 $\{\sigma_k\}_{k=1}^n$ 满足某些温和的非离散性。