由样本均值与方差驱动的预测分布的渐近性

设 $\alpha_n(\cdot)=P\bigl(X_{n+1}\in\cdot\mid X_1,\ldots,X_n\bigr)$ 为 $p$ 维随机向量序列 $(X_1,X_2,\ldots)$ 的预测分布。假设 $$\alpha_n= \mathcal{N} _p (M_n,Q_n)$$ 其中 $M_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ 且 $Q_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-M_n)(X_i-M_n)^t$。则存在 $\mathbb{R}^p$ 的 Borel 子集上的一个随机概率测度 $\alpha$，使得 $\lVert\alpha_n-\alpha\rVert\overset{a.s.}\longrightarrow 0$，其中 $\lVert\cdot\rVert$ 为全变差距离。本文给出了 $\alpha$ 的显式表达式，并证明了 $\lVert\alpha_n-\alpha\rVert$ 的收敛速度可以任意接近 $n^{-1/2}$。此外，即使 $\alpha_n=\mathcal{L}(M_n,Q_n)$，其中 $\mathcal{L}$ 属于一个远大于正态分布的分布类，$\lVert\alpha_n-\alpha\rVert\overset{a.s.}\longrightarrow 0$ 依然成立。预测分布 $\alpha_n$ 在多种框架中非常有用，包括贝叶斯预测推断和预测重抽样。最后，研究了基于 Copula 的预测分布（在 [13] 中引入）的渐近行为，并进行了数值实验。