关于弱缺项级数的渐近行为

设 $f$ 为满足 $$f(x+1)=f(x), \qquad \int_0^1 f(x) dx=0, \qquad \textrm{Var} ~f < + \infty,$$ 的可测函数，并设 $(n_k)_{k\ge 1}$ 为满足 $n_{k+1}/n_k \ge q >1$ $(k=1, 2, \ldots)$ 的整数序列。根据缺项级数的经典理论，在关于 $n_k$ 的适当丢番图条件下，$(f(n_kx))_{k\ge 1}$ 满足中心极限定理和重对数律。这些结果也可推广至一类次指数增长的序列 $(n_k)_{k\ge 1}$，但正如 Fukuyama (2009) 所示，$f(n_kx)$ 的行为通常不具有置换不变性，例如序列的重排可能会破坏中心极限定理和重对数律。本文构造了一个无限阶丢番图条件，该条件蕴含了置换不变的中心极限定理和重对数律，且无需对 $(n_k)_{k\ge 1}$ 施加任何增长条件；同时表明，即使 $f(x)=\sin 2\pi x$ 且 $(n_k)_{k\ge 1}$ 几乎指数增长，该理论中已知的有限阶丢番图条件也无法推出置换不变性。最后我们证明，在适当的统计意义上，对于几乎所有多项式以上速度增长的序列 $(n_k)_{k\ge 1}$，$(f(n_kx))_{k\ge 1}$ 具有置换不变的行为。