Fejér 核之差在 $L^2(\mathbb{R})$ 上的无条件收敛

令 $K_n(x)$ 表示由 $$K_n(x)=\sum_{j=-n}^n\left(1-\frac{|j|}{n+1}\right)e^{-ijx}$$ 给出的 Fejér 核，并令 $\sigma_nf(x)=(K_n\ast f)(x)$，其中照常 $f\ast g$ 表示 $f$ 与 $g$ 的卷积。令序列 $\{n_k\}$ 为缺项序列。则级数 $$\mathcal{G}f(x)=\sum_{k=1}^\infty \left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right)$$ 对所有 $f\in L^2(\mathbb{R})$ 无条件收敛。令 $(n_k)$ 为缺项序列，且 $\{c_k\}_{k=1}^\infty \in \ell^\infty$。定义 $$\mathcal{R}f(x)=\sum_{k=1}^\infty c_k\left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right).$$ 则存在常数 $C>0$ 使得对所有 $f\in L^2(\mathbb{R})$ 有 $$\|\mathcal{R}f\|_2\leq C\|f\|_2$$，即 $\mathcal{R}f$ 为强型 $(2,2)$。作为特例可知 $\mathcal{G}f$ 亦为强型 $(2,2)$。