关于Mercer定理中一致收敛的速度

经典的Mercer定理指出，紧集上的连续正定核$K({\mathbf x}, {\mathbf y})$可表示为$\sum_{i=1}^\infty \lambda_i\phi_i({\mathbf x})\phi_i({\mathbf y})$，其中$\{(\lambda_i,\phi_i)\}$是相应积分算子的特征值-特征向量对。已知该无穷表示一致收敛于核$K$。我们根据特征值的衰减速率估计了该收敛的速度，并证明对于$2m$次可微核，级数的前$N$项对$K$的逼近误差为$\mathcal{O}\big((\sum_{i=N+1}^\infty\lambda_i)^{\frac{m}{m+n}}\big)$或$\mathcal{O}\big((\sum_{i=N+1}^\infty\lambda^2_i)^{\frac{m}{2m+n}}\big)$。最后，我们展示了我们的结果在具有连续根及其他幂的积分算子的谱刻画方面的一些应用。