具有 Mercer 型无穷光滑双 Carleman 核的积分算子

旨在应用于求解一般积分方程，本文引入并研究了一类定义在$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$上的特殊双 Carleman 核，称为 Mercer 型$K^\infty$核，其无穷光滑性在通过其关联积分算子的某些左乘和右乘后保持不变。我们证明了一个关于此类核的绝对且一致收敛的双线性级数展开定理，将 Mercer 和 Kadota 针对正定核的展开定理推广到了一般的非 Hermite 情形。本文证明的另一个定理识别了可分离 Hilbert 空间$\mathcal{H}$上那些有界算子的族，它们可以通过同一个酉等价变换同时转化为$L^2(\mathbb{R})$上的双 Carleman 积分算子，且其核为 Mercer 型$K^\infty$核；其单元素版本特别意味着任何双积分算子都酉等价于一个具有此类核的积分算子。