Kaplansky-Hilbert 模块上向量值再生核 Hilbert 空间的Mercer定理
泛函分析
2025-11-24 v1
摘要
本文提出了经典Mercer定理在由与基本有界可测函数代数相关联的Kaplansky-Hilbert 模块上定义的向量值再生核 Hilbert 空间框架内的扩展。分析聚焦于具有取决于可测参数的正定核的部分积分算子，并建立了三个基本性质的等价性：相应向量值空间中特征函数系统的完备性、嵌入算子的余嵌入算子的单射性，以及核的点态谱分解在特征值和特征函数的可测参数族算子中的存在性。该证明依赖于构建Kaplansky-Hilbert 模块与 Hilbert 束可测截面空间之间的等距同构，从而将问题归约为在束的每个纤维上应用经典Mercer定理。此外，发展了一种向量值提升形式，用于保证原始模块及其束表示之间的内积结构的一致性。
引用
@article{arxiv.2511.16981,
title = {Mercer's Theorem for Vector-Valued Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Kaplansky-Hilbert Modules over $L_{\infty}(\Omega)$},
author = {A. Arziev and K. Kudaybergenov. P. Orinbaev},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.16981},
year = {2025}
}