MMD比较了多少个矩？

我们提出了一种研究Mercer核的新方法，通过对应于一个特殊核$K$一个伪微分算子$p({\mathbf x}, D)$，使得$\mathcal{F} p({\mathbf x}, D)^\dag p({\mathbf x}, D) \mathcal{F}^{-1}$作用于光滑函数的方式与和$K$相关的积分算子相同（其中$\mathcal{F}$是傅里叶变换）。我们证明由伪微分算子定义的核能够在紧集上一致逼近任意连续Mercer核。符号$p({\mathbf x}, {\mathbf y})$封装了关于由核$K$定义的最大均值差异（MMD）距离结构的许多有用信息。我们用$p$的奇异值分解前$r$项之和来逼近$p({\mathbf x}, {\mathbf y})$，记为$p_r({\mathbf x}, {\mathbf y})$。如果与$p({\mathbf x}, {\mathbf y})$相关的积分算子的有序奇异值迅速衰减，则由新符号$p_r$定义的MMD距离与初始距离仅略有不同。此外，新的MMD距离可解释为比较两个概率分布的$r$个局部矩的聚合结果。后一结果在$p$相关积分算子的右奇异向量一致有界的条件下成立。但即使不满足该条件，我们仍可得$p$与$p_r$之间的Hilbert-Schmidt距离消失。因此，我们报告了一个有趣现象：MMD距离以一定数量的局部矩$r^\ast$度量两个概率分布的差，且该数$r^\ast$取决于$p$的奇异值衰减速度。