MMD 的平滑距离核及其在 Wasserstein 梯度流中的应用

负距离核 $K(x,y) := -\|x-y\|$ 用于统计中的最大平均偏差 (MMD) 定义，已在各种应用中表现出良好的数值结果。特别是，处理高维核求和的切片技术受益于距离核的简单无参数结构。然而，由于其在 $x=y$ 处的非光滑性，大多数经典理论结果（例如关于相应 MMD 功能的 Wasserstein 梯度流）不再成立。本文提出了一种新型核函数，保留了负距离核的有利特性：即阶为一的条件正定性、对 infinity 的近线性增长以及简单的切片结构，同时实现 Lipschitz 可微。其构造基于对绝对值函数进行简单 1D 平滑处理后接续 Riemann-Liouville 分数积分变换。数值结果表明，新核在梯度下降方法中与负距离核性能相似，但具备理论保证。