带距离核的 MMD 泛函在 Sobolev 正则化下的 Wasserstein 梯度流
偏微分方程分析
2025-05-06 v2
摘要
我们考虑最大均值差异（MMD）泛函 MMD_K^2(·, ν) 的 Wasserstein 梯度流，其中距离核 K(x,y) := ±|x-y| 为正或负，目标测度 ν 给定于 ℝ 上。由于在一维情况下 Wasserstein 空间可等距嵌入分位数函数锥 C(0,1) ⊂ L2(0,1) 中，Wasserstein 梯度流可由 L2(0,1) 上相关 Cauchy 问题的解来刻画。对于负核，MMD 泛函是测地凸的；但对于正核则不然，需对其进行处理以保证流的存在性。我们提出在分位数函数的 Cauchy 问题中加入一个正则化 Sobolev 项 |·|^2_{H^1(0,1)}，该项对应带 Neumann 边界条件的 Laplacian 算子。这确实保证了正核情况下广义极小化运动的存在性。此外，对于负核，我们通过数值示例展示了 Laplacian 如何修正 MMD 梯度流的“质量耗散”缺陷。
引用
@article{arxiv.2411.09848,
title = {Wasserstein Gradient Flows of MMD Functionals with Distance Kernels under Sobolev Regularization},
author = {Richard Duong and Nicolaj Rux and Viktor Stein and Gabriele Steidl},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.09848},
year = {2025}
}
备注
29 pages, 13 figures. Corrected mistake in functional in Lemma 3.1. Added Remark 3.9 on long-time asymptotics. Added clarifications and references throughout the paper