基于 Riesz 核的生成式切片 MMD 流

最大均值差异（MMD）流在大规模计算中计算成本较高。本文表明，具有 Riesz 核 $K(x,y) = - \|x-y\|^r$，$r \in (0,2)$ 的 MMD 流具备特殊性质，可使其高效计算。我们证明 Riesz 核的 MMD（亦称能量距离）与其切片版本的 MMD 一致。由此，MMD 梯度的计算可在一维设定下进行。此处，对于 $r=1$，可应用简单排序算法将复杂度从 $O(MN+N^2)$ 降至 $O((M+N)\log(M+N))$（针对具有 $M$ 和 $N$ 个支撑点的两个测度）。另一有趣推论是，紧支撑测度的 MMD 可由 Wasserstein-1 距离从上方和下方估计。在实现中，我们仅用有限数量 $P$ 个切片来近似切片 MMD 的梯度。我们表明由此产生的误差复杂度为 $O(\sqrt{d/P})$，其中 $d$ 为数据维度。这些结果使我们能够通过神经网络近似 MMD 梯度流来训练生成模型，即便用于图像应用亦可。我们在 MNIST、FashionMNIST 与 CIFAR10 上通过图像生成展示了我们模型的效率。