距离核MMD泛函的Wasserstein梯度流与分位数函数上的Cauchy问题

我们给出了最大均值差异（MMD）泛函 $\mathcal F_\nu := \text{MMD}_K^2(\cdot, \nu)$ 向实线上给定目标测度 $\nu$ 的Wasserstein梯度流的完整描述，重点关注负距离核 $K(x,y) := -|x-y|$。在一维情况下，Wasserstein-2空间可以等距嵌入到分位数函数的锥 $\mathcal C(0,1) \subset L_2(0,1)$ 中，从而通过 $L_2(0,1)$ 上相关Cauchy问题的解来刻画Wasserstein梯度流。基于在 $L_2(0,1)$ 上构建 $\mathcal F_\nu$ 的适当对应物及其次微分，我们给出了Cauchy问题的解。对于离散目标测度 $\nu$，这导致了分段线性解公式。我们证明了流在 $\mathcal C(0,1)$ 子集上的不变性和平滑性质。对于某些 $\mathcal F_\nu$-流，这意味着初始点测度瞬间变为绝对连续，并随时间保持该性质。最后，我们通过使用隐式Euler方案的多种数值示例展示了流的行为，该方案可通过二分算法轻松计算。对于连续目标 $\nu$，也可以使用显式Euler方案，尽管收敛性保证有限。