Fisher-Rao 梯度流的核近似

本文旨在回答核方法与偏微分方程（PDE）梯度流交叉领域中的几个开放问题。受机器学习近期进展（特别是在生成式建模与采样方面）的启发，我们对 Fisher-Rao 和 Wasserstein 型梯度流的梯度结构、流方程及其核近似进行了严格的研究。具体而言，我们聚焦于 Fisher-Rao（亦称 Hellinger）几何及其各种基于核的近似，利用 PDE 梯度流和最优传输理论的工具发展了一个原则性的理论框架。我们还提供了最大均值差异（MMD）空间中梯度流的完整刻画，并建立了与现有学习和推断算法的联系。我们的分析揭示了将 Fisher-Rao 流、Stein 流、核差异和非参数回归联系起来的精确理论见解。随后，我们严格证明了核近似 Fisher-Rao 流的演化 $\Gamma$-收敛性，提供了超越逐点收敛的理论保证。最后，我们利用 Helmholtz-Rayleigh 原理分析了能量耗散，建立了力学经典理论与现代机器学习实践之间的重要联系。我们的结果通过严格的梯度流和变分方法视角，为理解和分析机器学习应用中梯度流的近似提供了统一的理论基础。