实线上基于距离核的差异性的Wasserstein梯度流

本文给出了实线上测度之间Wasserstein梯度流的相关结果。利用Wasserstein空间$\mathcal P_2(\mathbb R)$到Hilbert空间$L_2((0,1))$的等距嵌入，$\mathcal P_2(\mathbb R)$上泛函的Wasserstein梯度流可刻画为$L_2((0,1))$上关联泛函的次梯度流。对于具有非光滑负距离核$K(x,y) = -|x-y|$的最大均值差异泛函$\mathcal F_\nu := \mathcal D^2_K(\cdot, \nu)$，我们推导了关联泛函的公式。该泛函呈凸性，并且我们证明了$\mathcal F_\nu$沿（广义）测地线是凸的。对于作为流终点的Dirac测度$\nu = \delta_q$，$q \in \mathbb R$，这使我们能够解析地确定Wasserstein梯度流。文中给出了多种Wasserstein梯度流的示例以供说明。