作为凸函数Wasserstein梯度流出现的漂移扩散偏微分方程的收敛性

我们研究了作为${\mathbb R}^d$上概率测度空间上线性凸函数的Wasserstein梯度流出现的漂移扩散偏微分方程的定量收敛性。在此设定下，目标函数通常不是位移凸的，因此全局收敛性是否成立先验上并不明确。尽管如此，我们的分析揭示，扩散允许Wasserstein几何与线性凸性之间产生有利的相互作用，从而引出一个通用的定量收敛理论，类似于欧几里得空间中凸设定下梯度流的理论。具体来说，我们证明如果目标函数是凸的且适当强制，次优性差距以$O(1/t)$的速率下降。当目标函数相对于熵是强凸时，该速率可提升至快于任何多项式速率——甚至在紧致设定下达到指数速率。我们的结果扩展了享有定量收敛保证的平均场Langevin动力学的范围，并为概率测度空间上的优化带来了新的应用。为了说明这一点，我们展示了熵正则化非凸问题最小化的定量收敛结果，提出并研究了我们的设定所涵盖的一种近似Fisher信息正则化，并将我们的结果应用于轨迹推断的一个估计量，该估计量涉及路径空间中相对于Wiener测度的相对熵的最小化。