非线性退化漂移扩散耦合方程组平衡态的指数收敛

我们研究了一个具有 Wasserstein 距离下梯度流结构的两个非线性漂移扩散方程系统的弱解的存在性与长时间渐近性。这两个方程通过一个由参数 $\varepsilon\ge0$ 缩放的交叉扩散项耦合。非线性和势的选择使得在 $\varepsilon=0$ 的解耦系统中，演化是度量收缩的，具有全局速率 $\Lambda>0$。该耦合是一种奇异扰动，因为在任何 $\varepsilon>0$ 下，系统的收缩性都会丧失。我们的主要结果是，对所有足够小的 $\varepsilon>0$，向唯一稳态的全局吸引持续存在，且具有指数速率 $\Lambda_\varepsilon=\Lambda-K\varepsilon$。证明结合了度量梯度流理论的结果与进一步的变分方法和泛函不等式。