混沌传播、Wasserstein 梯度流与环面 Kahler-Einstein 度规
摘要
受 Kahler-Einstein 度规概率方法的启发，我们考虑了欧几里得空间中一种一般的非平衡统计力学模型，该模型由给定（可能是奇异的）拟凸 N 粒子相互作用能的随机梯度流组成。我们证明了在多粒子的大 N 极限下，会出现确定性的“宏观”演化方程。这是对先前结果的加强，先前结果要求相互作用能的 Hessian 矩阵具有均匀的双侧界。证明利用了 Wasserstein 空间上的弱梯度流理论。应用于“负温度”下的积和式点过程设置时，相应的极限演化方程产生了一个与 Monge-Ampère 算子耦合的漂移 - 扩散方程，其静态解对应于环面 Kahler-Einstein 度规。该漂移 - 扩散方程是 Kahler 几何中 K-能量泛函在概率测度 Wasserstein 空间上的梯度流，可被视为各种被广泛研究的耗散演化方程和守恒律（包括 Keller-Segel 方程和 Burger 方程）的完全非线性版本。在此设置下，我们还获得了复几何 Yau-Tian-Donaldson 猜想的实概率（及热带）类比。在另一篇 companion 论文中，给出了其在奇异对相互作用中的应用。
关键词
引用
@article{arxiv.1501.07820,
title = {Propagation of chaos, Wasserstein gradient flows and toric Kahler-Einstein metrics},
author = {Robert J. Berman and Magnus Onnheim},
journal= {arXiv preprint arXiv:1501.07820},
year = {2016}
}
备注
v1: 37 pages. v2: 47 pages. Improved exposition and added applications to particle approximations for singular pair interactions in 1D- v3: 39 pages. Complex geometric motivations included. The applications to singular pair interactions have been moved to the companion paper "Propagation of chaos for a class of first order models with singular mean field interactions"