半离散能量的 Wasserstein 梯度流：城市领域演化与均匀量化
偏微分方程分析
2026-03-05 v1 最优化与控制
摘要
我们研究 Wasserstein 梯度流中半离散能量，即取决于两个测度的能量函数，其中一个是绝对连续密度，另一个是原子测度。这类能量在城市规划领域自然出现。通过著名的 JKO 方案，我们在更一般的假设下证明了收敛性，得到由抛物面偏微分方程与奇异对流耦合的 ODE 系统，呈现奇异动力学。随后在线性和多孔介质类型扩散的情况下，证明 L2 时 H1 空间中的二阶矩收敛。我们进一步研究该系统的若干定性特性，如原子趋向其对应 Laguerre 单元重心的收敛性。最后通过大量数值仿真辅助提出若干定性行为的猜想；例如在线性扩散情况下，我们观察到动态晶体化现象。
引用
@article{arxiv.2603.04088,
title = {Wasserstein Gradient Flows of semi-discret energies: evolution of urban areas anduniform quantization},
author = {Joao Miguel Machado},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.04088},
year = {2026}
}