通过自由能梯度流学习图的离散扩散

基于梯度流的数学框架在连续空间上进行扩散模型已取得显著进展，利用Wasserstein-2（$W_2$）度量通过Jordan-Kinderlehrer-Otto（JKO）方案实现。尽管离散空间上的扩散模型正在使用连续时间马尔可夫链方面取得日益流行的进展，但基于梯度流的平行理论框架在将$W_2$距离直接转化到这些设置时仍然尚未实现。本文提出了第一个解决这些挑战的计算方法，利用适当的度量$W_K$ on the simplex of probability distributions，从而能够将广泛使用的离散扩散路径（如离散热方程）解释为特定自由能泛函的梯度流。通过这一理论洞察，我们引入了一种新方法，用于学习离散空间上的扩散动力学，该方法通过利用JKO方案的一次最优条件直接恢复 underlying functional。 resulting method optimizes a simple quadratic loss, trains extremely fast, does not require individual sample trajectories, and only needs a numerical preprocessing computing $W_K$-geodesics。我们通过大量数值实验对方法进行了验证，表明我们能够恢复各种图类（graph classes）的 underlying functional。