高斯分布间 Sinkhorn 发散的 Wasserstein 梯度流
偏微分方程分析
2026-02-20 v2 最优化与控制
摘要
我们研究当源和目标均为高斯分布时，Sinkhorn 发散的 Wasserstein 梯度流。我们证明了在高斯分布类别中存在一条流动路径，且在具有强凹平滑对数密度的更大测度类中唯一性。我们证明了当源协方差矩阵非奇异时，流动全局收敛于目标测度；当协方差矩阵为奇异时，我们给出反例来回答 [Carlier et al. 2024, \S4.2] 中提出的开放问题。当源分布的协方差矩阵与目标分布的协方差矩阵可交换时，我们推导了更为量化的结果，展示了当源和目标共享其 support 时呈指数收敛目标的行为，但若目标集中在源 support 的严格子集中，则收敛速率下降为线性（O(t^{-1})）。
引用
@article{arxiv.2602.10726,
title = {The Wasserstein gradient flow of the Sinkhorn divergence between Gaussian distributions},
author = {Mathis Hardion and Théo Lacombe},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.10726},
year = {2026}
}