Hellinger-Kantorovich-Boltzmann 梯度流中高斯分布的演化
偏微分方程分析
2025-04-30 v1 概率论
机器学习
摘要
本研究利用基本洞察：与 Hellinger-Kantorovich (HK) 几何中的高斯参考测度相关的相对 Boltzmann 熵的梯度流方程保留高斯测度的类。这种不变性为在描述高斯密度参数空间上构建 reduced 梯度结构提供了基础。我们推导了严格控制均值、协方差和质量的常微分方程，这些方程描述了 HK-Boltzmann 梯度流中的演化。reduced 结构保留 HK 度量的 additive 形式，促进了对涉及的动力学进行全面分析。我们探讨了 reduced 系统的 geodesic 凸性，揭示全球凸性仅限于纯粹传输情景，而在一般情况下观察到一种变体的次级半凸性。此外，我们通过适用于全局和次级集的 Polyak-Lojasiewicz 类型不等式，展示了指数收敛于平衡。通过监控协方差特征值的演化，我们细化了收敛速率。我们还扩展了分析到具有强 log-lambda-凹性的非高斯目标，数值实验证实了理论结果，包括高斯目标梯度流和贝叶斯 logistic 回归应用。
引用
@article{arxiv.2504.20400,
title = {Evolution of Gaussians in the Hellinger-Kantorovich-Boltzmann gradient flow},
author = {Matthias Liero and Alexander Mielke and Oliver Tse and Jia-Jie Zhu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.20400},
year = {2025}
}