度量空间中梯度流的Kurdyka-Lojasiewicz-Simon不等式
偏微分方程分析
2019-01-28 v3
摘要
本文致力于提供新的工具和方法，用于研究度量空间中梯度流在熵和度量意义下趋于平衡的趋势，建立衰减率、有限时间灭绝，并刻画Lyapunov稳定平衡点。此外，我们指出，动力学理论中著名的熵-熵产生不等式无非是一个全局的Kurdyka-Lojasiewicz-Simon不等式。这将两个不同的领域——代数几何与动力学理论——联系起来。作为本文所开发工具的应用，我们得到以下结果：- 与总变分流相关的梯度流灭绝时间的新上界。- 如果度量空间是p-Wasserstein空间，则对于与建模漂移、势和相互作用现象的非线性扩散问题相关的泛函，获得了新的HWI-、Talagrand-和对数Sobolev不等式。- 证明了这些不等式等价于Kurdyka-Lojasiewicz-Simon不等式，因此它们意味着梯度流以衰减率或有限时间到达的方式趋于平衡。
引用
@article{arxiv.1707.03129,
title = {Kurdyka-Lojasiewicz-Simon inequality for gradient flows in metric spaces},
author = {Daniel Hauer and José Mazon},
journal= {arXiv preprint arXiv:1707.03129},
year = {2019}
}
备注
Accepted for publication in Trans. Amer. Math. Soc