Łojasiewicz 不等式的刻画及其应用

经典的 Łojasiewicz 不等式及其针对偏微分方程问题 (Simon) 和 o-极小结构 (Kurdyka) 的扩展，对梯度类方法及相关问题的分析产生了重大影响：包括最小化方法、复杂度理论、耗散偏微分方程的渐近分析以及驯顺几何。本文为定义在度量空间或实 Hilbert 空间上的非光滑下半连续函数提供了此类不等式的替代刻画。在度量背景下，我们展示了一种广义形式的 Łojasiewicz 不等式（此处称为 Kurdyka-Łojasiewicz 不等式）与度量正则性和水平集映射的 Lipschitz 连续性相关，从而产生了在离散方法中的应用（邻近算法的强收敛性）。在 Hilbert 设定下，我们进一步确立了由 $-\partial f$ 生成的半流的渐近性质与该不等式紧密相连。这是通过引入分段次梯度曲线的概念完成的：当且仅当满足 Kurdyka-Łojasiewicz 不等式时，此类曲线具有统一有界的长度。给出了基于 talweg 线（一个与 $f$ 水平集上最平缓点位置相关的概念）和可积条件的进一步刻画。在凸情形下，这些结果得到了显著加强，特别是能够建立离散梯度方法与连续梯度曲线的渐近等价性。另一方面，构造了一个平面上的凸 $C^2$ 函数的反例，以说明这样一个事实：与我们的直觉相反，除非满足特定的增长条件，否则凸函数可能不满足 Kurdyka-Łojasiewicz 不等式。