C^2 函数的 Polyak-Łojasiewicz 不等式本质上不比强凸性更一般
最优化与控制
2026-01-19 v2
摘要
Polyak-Łojasiewicz (PŁ) 不等式将强凸函数的有利优化性质推广到更广泛的函数类。在本文中，我们证明了一个定理（该定理亦由 Criscitiello、Rebjock 和 Boumal 在早期的博客文章中独立获得），表明 PŁ 函数类的丰富性根植于非光滑情形，因为充分的光滑性迫使它们本质上为强凸。更精确地说，我们证明若 是一个具有有界极小值集的 C^2 PŁ 函数，则它具有唯一的极小值点，并且在形如 的下水平集上是强凸的。我们证明这蕴含了 Asplund 关于平方距离函数性质的一个结果，并讨论了文献中相关结果的光滑性假设的一些推论。
引用
@article{arxiv.2512.05285,
title = {Polyak-{\L}ojasiewicz inequality is essentially no more general than strong convexity for $C^2$ functions},
author = {Aziz Ben Nejma},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.05285},
year = {2026}
}