局部 Log-Polyak-Lojasiewicz 测度的 Poincaré 不等式：低温 regime 的非渐近分析

高度相关的应用中的势函数（如深度学习中的过参数化情形）经观察到具有非孤立最小值的特性。为理解此类景观下随机动力学的收敛行为，我们提出研究 $\logPLmeasure$ 测度类 $\mu_\epsilon \propto \exp(-V/\epsilon)$，其中势 $V$ 满足局部 Polyak-{\L}ojasiewicz (P\L) 不等式，其局部最小值的集合可证明为 \emph{连通的}。值得注意的是，该类势函数可表现为局部最大值，我们描述其最优集合 S 为 $\mathbb{R}^d$ 上的紧致 $\mathcal{C}^2$ \emph{嵌入子流形}，无边界。S 的 \emph{非可约性}使我们函数类的性质与经典凸设置在拓扑学上具有区别。此外，嵌入结构在 S 上定义了一个自然的 Laplacian-Beltrami 算子，我们证明其第一个非平凡特征值为 $\Poincare$ 不等式中的 $\mu_\epsilon$ 提供了 \emph{$\epsilon$-独立}的下界。作为直接结果，具有此类非凸势 $V$ 和扩散系数 $\epsilon$ 的 Langevin 动力学在 $\epsilon$ 足够小时，以 $\tilde{\mathcal{O}}(1/\epsilon)$ 的速率收敛于其平衡 $\mu_\epsilon$。此处 $\tilde{\mathcal{O}}$ 隐藏了对数项。