非凸问题的邻近交替最小化与投影方法：一种基于 Kurdyka-Łojasiewicz 不等式的方法

我们研究了一类非凸结构化函数 $L(x,y)=f(x)+Q(x,y)+g(y)$ 的交替邻近最小化算法的收敛性质，其中 $f:\R^n\rightarrow\R\cup{+\infty}$ 和 $g:\R^m\rightarrow\R\cup{+\infty}$ 是真下半连续函数，$Q:\R^n\times\R^m\rightarrow \R$ 是耦合变量 $x$ 和 $y$ 的光滑 $C^1$ 函数。该算法可视为用于最小化 $L$ 的常规 Gauss-Seidel 方法的邻近正则化。我们在非凸设定下工作，仅假设函数 $L$ 满足 Kurdyka-Łojasiewicz 不等式。整整一节内容通过从半代数几何到“度量正则”问题的示例，阐述了此类假设的相关性。我们的主要结果可表述如下：如果 $L$ 具有 Kurdyka-Łojasiewicz 性质，则该算法生成的每个有界序列都收敛到 $L$ 的一个临界点。这一结果辅以对算法收敛速率的研究，该速率取决于函数 $L$ 在其临界点周围的几何性质。当特化为 $Q(x,y)=|x-y|^2$ 且 $f$、$g$ 为指示函数时，该算法成为一种交替投影方法（Von Neumann 方法的一个变体），适用于包括半代数集和 tame 集、横截光滑流形或具有“正则”交集的集在内的广泛集合类。为了用具体问题说明我们的结果，我们提供了一种用于压缩感知的收敛邻近重加权 $\ell^1$ 算法，并给出了其在秩约减问题中的应用。