Gromov-Wasserstein 几何中的梯度流与黎曼结构

Wasserstein 空间的概率测度因其复杂的黎曼结构而为人所熟知，这种结构支撑了 Wasserstein 几何并 enables 梯度流算法。然而，Wasserstein 几何可能不适用于某些任务或数据模态。为了保护数据全局结构，本 work 开始研究在 Gromov-Wasserstein（GW）几何中的梯度流与黎曼结构，这种几何特别适用于此类目的。我们聚焦于 $\mathbb{R}^d$ 上的内积 GW（IGW）距离。给定函数 $\mathsf{F}:\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)\to\mathbb{R}$ 以优化为目标，我们提出一种隐式 IGW 最小移动方案，生成分布序列 $\{\rho_i\}_{i=0}^n$，这些分布在 IGW 距离上彼此接近且在 2-Wasserstein 意义下对齐。当取时间步趋于零时，我们证明离散解收敛于遵循连续方程 $(\rho_t)_t$ 的 IGW 广义最小移动（GMM），其中速度场 $v_t\in L^2(\rho_t;\mathbb{R}^d)$ 由 Wasserstein 梯度的全局变换指定。该变换由一个 mobility 算子给出，该算子修改 Wasserstein 梯度以编码不仅局部信息，还包括全局结构。我们的梯度流分析使我们识别产生内在 IGW 几何的黎曼结构，借此我们建立了 IGW 的 Benamou-Brenier 类似公式。我们随后类似 Otto 微积分地推导 IGW 梯度作为 Wasserstein 梯度的逆 mobility 作用。我们提供数值实验以验证理论并展示 IGW 插值具有全局性质。