基于 Otto 微积分的广义薛定谔问题的动力学视角——一种启发性观点

梯度流的定义方程 $(\ast):\ \dot \omega_t=-F'(\omega_t)$ 本质上是运动学的。本文通过以下方式探讨梯度流的一些动力学（而非运动学）特征：(i) 将方程 $(\ast)$ 嵌入减速梯度流方程族：$\dot \omega ^{ \varepsilon}_t=- \varepsilon F'( \omega ^{ \varepsilon}_t)$，其中 $\varepsilon>0$；以及 (ii) 考虑\emph{加速度} $\ddot \omega ^{ \varepsilon}_t$。我们将聚焦于 Wasserstein 梯度流。我们的方法主要是启发性的，依赖于 Otto 微积分。薛定谔问题的一个特殊表述是在黎曼流形上概率测度的 Wasserstein 空间上，在给定初值和终值数据下最小化某种作用量。我们通过将薛定谔问题底层的通常熵替换为 Wasserstein 空间的一般函数，推广了这一作用量最小化问题。当某个涨落参数趋于零时，对应的最小代价趋于平方 Wasserstein 距离。我们启发式地证明解满足牛顿方程，推广了 Conforti 近期的结果。我们建立了与 Wasserstein 梯度流的联系，并从启发性观点推导了若干不等式，包括演化变分不等式与曲率-维数条件下的收缩不等式。作为一个严格结果，我们证明了在光滑紧黎曼流形上 Ricci 下界下薛定谔问题的一个新的通用收缩不等式。