有限图上 k 步概率测度间的 Wasserstein 距离

我们考虑有限图 $G$ 上分别具有惰性 $\alpha, \beta \in [0,1]$ 的随机游走 $X,Y$。令 $\mu_k$ 与 $\nu_k$ 分别为 $X$ 与 $Y$ 的 $k$ 步转移概率测度。本文研究一般 $k$ 下 $\mu_k$ 与 $\nu_k$ 之间的 Wasserstein 距离。我们考虑由 $k$ 取奇数值时的 Wasserstein 距离构成的序列，以及由 $k$ 取偶数值时的 Wasserstein 距离构成的序列。我们首先确立这些序列总是收敛的，随后刻画这些序列可能收敛到的值。我们进一步证明，每个序列要么最终为常数，要么以指数速率收敛。通过分别分析不同收敛值的情形，我们能够部分刻画 Wasserstein 距离在 $k$ 足够大时为常数的条件。