某些 Calder\'on-Zygmund 核及其与 Wolff 容量和可求长性的关系

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中 $0<\alpha\leq 1$ 且 $n\in\mathbb{N}$ 的 Calder\'on-Zygmund 核 $K_ {\alpha,n}(x)=(x_i^{2n-1}/|x|^{2n-1+\alpha})_{i=1}^d$。我们表明，在平面上，对于 $0<\alpha<1$，与核 $K_{\alpha,n}$ 相关的容量与非线性势论中的 Riesz 容量 $C_{\frac23(2-\alpha),\frac 3 2}$ 相当。由此我们推导出该容量的半可加性和双 Lipschitz 不变性。此外，我们表明对于任何具有有限长度的 Borel 集 $E\subset\mathbb{R}^n$，与 $K_{1,n}$ 相关的奇异积分的 $L^2(\mathcal{H}^1 \lfloor E)$-有界性意味着集合 $E$ 的可求长性。因此，我们将此前仅在平面中已知的结果推广到了任意环境维度。