Riesz 核的 Balayage 及其在相关 Green 核势论中的应用

我们研究了域 $D\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant3$) 的阶数 $0<\alpha\leqslant2$ 的 $\alpha$-Green 核 $g_D^\alpha$ 的性质。该核与 $\alpha$-Riesz 核 $|x-y|^{\alpha-n}$ ($x,y\in\mathbb R^n$) 相关联，其关联方式在 $\alpha=2$ 的情况下尤为熟知。除了势论的通常原理外，我们为 $\alpha$-Green 核建立了一致性性质。这使我们能够证明 $D$ 上具有有限能量 $g_D^\alpha(\mu,\mu):=\iint g_D^\alpha(x,y)\,d\mu(x)\,d\mu(y)$ 的正测度 $\mu$ 的锥在由能量范数 $\|\mu\|_{g_D^\alpha}=\sqrt{g_D^\alpha(\mu,\mu)}$ 定义的拓扑中的完备性，以及对于 $D$ 中具有有限 $\alpha$-Green 容量的相对闭集的 $\alpha$-Green 平衡测度的存在性。主要工具是 Cartan 的 Newton 核 balayage (sweeping) 理论向 $0<\alpha<2$ 的 $\alpha$-Riesz 核的推广。