内 Riesz 扫除理论及其应用

我们建立了 Riesz 核 $|x-y|^{\alpha-n}$（$\alpha\in(0,2]$）在 $\mathbb R^n$（$n\geqslant3$）上的扫除理论，作为 Landkof 所著书中理论的替代。需要这样做的原因在于，该书中的扫除是通过积分表示定义的，然而该表示迄今未完全严谨化。我们的替代方法主要基于 Cartan 关于内扫除的思想，后者由他针对牛顿核提出。应用由此发展的内 Riesz 扫除理论，我们得到了任意 $A\subset\mathbb R^n$ 的内平衡测度 $\gamma_A$ 存在性的一系列判据，特别地以适当选取的 $\mu$ 的内扫测度 $\mu^A$ 的总质量给出。例如，$\gamma_A$ 存在当且仅当 $\varepsilon^{A^*}\ne\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 是 $x=0$ 处的 Dirac 测度，$A^*$ 是 $A$ 相对于球面 $|x|=1$ 的逆，这导出了内 $\alpha$-不规则性的 Wiener 型判据。所得结果由例子说明。