关于局部紧空间上扫除法的理论

本文研究局部紧空间 $X$ 上关于满足控制原理的一致核 $\kappa$ 的有限能量 Radon 测度 $\mu$ 的扫除法（balayage）理论。该理论现针对 $X$ 上拓扑具有可数基、且任意 $f\in C_0(X)$（即 $X$ 上紧支撑连续函数）可在 $C_0(X)$ 的归纳极限拓扑下由有限能量测度 $\lambda$ 的势 $\kappa\lambda:=\int\kappa(\cdot,y)\,d\lambda(y)$ 逼近的情形予以明确。特别地，我们证明此时内扫除法总可归约为到 Borel 集的扫除法。更具体地，对任意 $A\subset X$，存在 $K_\sigma$ 集 $A_0\subset A$，使得对所有 $\mu$ 有 $\mu^A=\mu^{A_0}=\mu^{*A_0}$，$\mu^A$ 与 $\mu^{*A}$ 分别表示 $\mu$ 到 $A$ 的内、外扫除法。此外，$\mu^A$ 现由对称关系 $\int\kappa\mu^A\,d\lambda=\int\kappa\lambda^A\,d\mu$ 唯一确定，其中 $\lambda$ 取遍仅依赖于 $X$ 与 $\kappa$ 的某可数测度族。作为这些定理的应用，我们分析了内、外扫测度及其势的收敛性。所得结果对 $\mathbb R^n$（$n\geqslant2$）上经典与现代势论中许多有趣核均成立。