全平面加权多项式空间中再生核的 Szeg\H{o} 型渐近性

本文求解并讨论了当 $n\to\infty$ 时，全平面加权多项式空间 $W(z)=P(z)\cdot e^{-\frac 12nQ(z)}$ 中再生核 $K_n(z,w)$ 的渐近公式，其中 $P(z)$ 是次数至多为 $n-1$ 的全纯多项式，$Q(z)$ 是一个固定的实值函数，称为“外势”。核 $K_n$ 精确对应于随机正规矩阵理论中的典范关联核。众所周知，$K_n(z,w)$ 的大 $n$ 行为必然关键取决于点 $z$ 和 $w$ 相对于液滴 $S$ 的位置，即外势 $Q$ 中 Frostman 平衡测度的支集。在 $z$ 和 $w$ 处于边缘且 $z\ne w$ 的特殊情况下，我们证明了公式 $K_n(z,w)\sim\sqrt{2\pi n}\,\Delta Q(z)^{\frac 1 4}\Delta Q(w)^{\frac 14}\,S(z,w)$，其中 $S(z,w)$ 是与 Hardy 空间 $H^2_0(U)$ 关联的 Szeg\H{o} 核，$H^2_0(U)$ 是定义在 $\hat{\mathbb{C}}\setminus S$ 的无界连通分量 $U$ 上且在无穷远处消失的解析函数空间。这严格描述了边界处关联缓慢衰减的现象，该现象由 Forrester 和 Jancovici 于 1996 年在 elliptic Ginibre ensembles 的背景下预测。