随机矩阵模型中奇异边点附近双标度极限的普适性

我们考虑 Hermitian n x n 矩阵 M 空间上的酉随机矩阵系综 Z_{n,s,t}^{-1}e^{-n tr V_{s,t}(M)}dM，其中约束势 V_{s,t} 使得特征值的极限平均密度（当 n→∞ 且 s,t→0 时）在其支撑的（奇异）端点处如幂次 5/2 般消失。本文的主要目的是证明双标度极限下特征值关联核的普适性。极限核由 P_I^2 方程的一个特解相关联的函数构成，P_I^2 方程是潘勒韦 I 方程的四阶类比。为了证明我们的结果，我们使用特征值关联核与正交多项式的黎曼-希尔伯特（RH）问题之间著名联系，并结合 Deift/Zhou 最速下降法对 RH 问题进行渐近分析。渐近分析中的关键步骤是在奇异端点附近构造一个参数解，为此我们使用 P_I^2 方程特解的模型 RH 问题。此外，RH 方法使我们能够确定在 ℝ 上关于变权 e^{-nV_{s,t}} 的正交多项式递推系数的渐近性（在双标度极限下）。P_I^2 方程的特解出现在渐近的 n^{-2/7} 项中。